Un ejemplo de cómo funcionan la abstracción y la aplicación juntas es el siguiente. Todo lo anterior denota a la función aplicando como argumento y dando como resultado. En general, tenemos:
Donde denota la sustitución de (esto es, la variable ligada) por ; en este caso, de todas las que puede haber en . Lo anterior es llamado reducción y es el único axioma esencial del cálculo , del que resulta toda su compleja teoría.
Es importante notar que, si una misma variable aparece tanto libre como ligada en una misma expresión, entonces, la sustitución solo se realiza cuando aparece libre. Ejemplo:
Por lo tanto, de ahora en adelante vamos a asumir que, las variables ligadas que aparezcan en una determinada expresión son diferentes de las libres (convención de Barendregt). Esto se puede lograr al renombrar las variables ligadas, por ejemplo, se puede escribir como , ya que representan el mismo algoritmo, . Así, vamos a identificar como equivalentes a todas las expresiones que solo difieran en el nombre de sus variables ligadas.